Vierergeschwindigkeiten

Wir haben eben schon gesehen, dass Differenzen von Raumzeitpunkten als Vektor transformieren. Doch bei näherer Betrachtung, ist das Konzept der Ableitung und damit das Konzept der Geschwindigkeit sehr nah mit dem Konzept Differenz verwand. Die Geschwindigkeit ist der Grenzwert der Differenz, der Positionen zweier Aufeinanderfolgender Momente geteilt durch die vergangene Zeit. Den ersten Teil können wir leicht in die SRT übertragen. Die Differenz der Koordinaten der Raumzeitpunkte eines Teilchens, bei aufeinanderfolgenden Punkte ist leicht genommen, wir erhalten sogar eine Zusätzliche Komponente, weil auch die Differenz der Zeitkoordinate bilden. Doch der Zweite Teil macht uns Ärger, denn das Teilen durch die Zeit und das Grenzwert bilden, mit dem die Zeit gegen 0 geht macht das Transformationsverhalten kaputt. Wäre die Zeit invariant, dann würde das keine Problem bilden, den dann hätten wir eine Klasse von Vektoren die von einer reellen Variable abhängen, von der man den Grenzwert nimmt, wenn diese Reelle variable gegen \(0\) geht. Und dabei macht es Sicherlich keinen unterschied ob man erst den Grenzwert bildet und dann Transformiert, doer erst alle Vektoren transformiert und dann den Grenzwert bildet. Es handelt sich um das Grenzwertgesetz \( \lim_{x \to 0} a \cdot f\left( x \right) = a \lim_{x \to 0} f\left( x \right) \), bloß das \(a\) eine Matrix ist und \(f\left( x \right)\) ein Vektor (kann leicht aus den Grundlegenden Grenzwertsätzen bewiesen werden, ist aber nicht besonders aufschlussreich). Leider ist die Zeit keine Invariante der Lorentztransformation (Das ist schließlich der Unique selling Point von SRT!), wodurch wir unseren sehr hübsch transformierenden Vektor durch eine nicht invariante Teilen und anschließend auch noch einen Limes in einer nicht invarianten bilden, was beides die Transformationseigenschaften ändert. Das resulitierende Objekte wird also kein Vektor sein.

Es gibt aber eine mit der Zeit verwandte Invariante größe, welche selbst ein Mathematisch völlig unbegabter Physiker als Invariant erkennen sollte. Und das ist die Eigenzeit. Es ist die Zeit die zwischen den beiden Events für ein Beobachter der die entsprechende Kurve durch Zeit und Raum nimmt vergehen würde. Und diese ist offensichtlich invariant, da sie eine Größe ist die ein bestimmter Beobachter beobachtet.

Wir sind erstmal nur an zeitdifferenzen zwischen zwei infinitesimal separierten Events interessiert, in denen man die Beschleunigung des Beobachters vernachlässigen kann. Für unbeschleunigte Beobachter gilt gemäß der Zeitdilatationsformel:

Na schau mal einer guck. Wenn das nicht unser alter bekannter das Raumzeitintervall ist. Wie schon bewiesen und wie aus physikalischem Gespür gut begründet ändert sich die Beobachtete Zeit eines Beobachters nicht mit einer Wechsel des Bezugssystems (Warum sollte es, wir betrachten die selbe Physikalische Situation aus einer anderen Perspektive.). Die zeit die ein Beobachter wahrnimmt ist also die Länge des Raumzeitintervalls.

Damit können wir jetzt die vierer Geschwindigkeit definieren, nämlich den Grenzwert des Quotient von der Differenz der Raumzeitpunkte zwischen zwei kurz aufeinanderfolgenden Momenten und der Eigenzeit die für ein Beobachter vergeht der zwischen diesen beiden Punkte reist wenn die diese Zeit gegen Null geht, also die Ableitung des Raumzeitpunktes nach der Eigenzeit.

Hier habe ich eine neue Notation eingeführt nämlich größen mit einer hochgestellten griechischen Index. Diese wird genutzt um Vektoren zu kennzeichnen. Dabei sin \(v^{0}\) bis \(v^{3}\) die Komponenten des Vektors. Es handelt sich bei \(v^{\mu}\) also nicht um den Vektor selber sondern um die Komponenten. Viele Gleichungen für Vektoren und andere Objekte der linearen Algebra kann auf zwei equivalente Arten aufschreiben, nämlich einmal für die Objekte selber und einmal für die Komponenten. Für letzteren Fall wird dann häufig implizit verlangt, das die Komponenten auf den beiden Seiten der Gleichung sich auf die selbe Basis beziehen, aber in seltenen Fällen muss dies nicht so sein. Auch kann man manchmal die hochgestellte indexschreibweise für Objekte finden, die nicht ganz wir ein Vektor transformieren, wie hier im Beispiel, wo die Koordinaten ebenfalls ein hochgestellten index haben, diese sind aber Komponenten eines Objektes, was eben nicht wie ein Vektor transformiert, sondern erst durch die Ableitung und die dadurch implizite Differenzbildung werden aus den Koordinatenkomponenten die Komponenten eines Vektors.

Nun sollten wir die Eigenschaften unseres neuen Vektors untersuchen. Und die erste wäre vielleicht die Minkowskilänge des Vektors (wenn es sich bei den Vektoren nicht mehr um Differenzen von Raumzeitpunkten handelt, nennt man den die invariante nicht mehr Raumzeitintervall sondern Minkowskilänge). Offensichtlich ist \(d \tau\) die Minkowskilänge des Vektors und die Minkowskilänge skaliert offensichtlich proportional wenn man einen Vektor mit einer reellen Zahl skaliert. Also muss der Geschwindigkeitsvierervektor die Länge eins haben (wir normalisiere den Vektor effektiv, weil wir ihn durch seinen Betrag teilen). Mathematisch bedeutet das:

Dabei habe ich nochmal einen neue Notation eingeführt. Wenn der Index eines Vektors in einer Gleichung für Komponenten unten steht statt oben, dann sind \(v_{0}\) bis \(v_{3}\) die Komponenten des Vektors, bloß das die Komponenten \(1\) bis \(3\) mit gewechselten Vorzeichen vorkommen. Und ich nutze ab jetzt die Einsteinsche Summenkonvention, nämlich das wenn in einer Komponenten Gleichung der ein Index oben und unten mit dem selben Buchstaben bezeichnet steht, das man dann über den index summiert:

Damit ist der Betrag eines Vektors:

Das Bedeutet, dass die Geschwindigkeiten aller Objekte auf dem oberen Halbhyperboloid leben, der den ‘Radius’ eins hat, denn sie haben alle den Betrag \(1\) und jedes Objekt hat eine positive Änderung der Koordinatenzeit, wenn seine Eigenzeit fortschreitet (das Leben läuft schließlich vorwärts ab und nicht rückwärts).

Doch wie genau sollte man sich die Vierergeschwindigkeit vorstellen. Wenn man jeden Raumzeitpunkt markiert, den ein Objekt ’erlebt’ hat erhält man eine Kurve, welche Ebene konstante Zeit genau einmal schneidet. Das ist die sogenannte Weltlinie des Objektes. Nun kann man auf ihr einen beliebigen Punkt festlegen, den wir Nullzeitpunkt nennen wollen. Von diesem aus kann man für jeden Punkt auf der Weltlinie die Eigenzeit ausrechnen die für das Objekt vergangen ist seit dem Nullzeitpunkt. Damit hat man einen Parameter für die Kurve und man könnte die Kurve wie folgt schreiben:

Als die Vierkoordinaten in Abhängigkeit von der Eigenzeit. Analog dazu wie man es auch für Kurven im \(\mathbb{R}^{3}\) machen würde. Und dann ist es ein ganz normaler Vorgang die Koordinaten eines Kurve nach dem Parameter abzuleiten. Man erhält einen Vektor in dessen Komponenten die änderungsraten der Einzelnen Koordinaten nach dem Parameter stehen. Einen Tangentenvektor. In unserem Fall nicht irgendeiner, denn die Parametrierung ist proportional zur ’länge’ der Kurve. Man kann an ihr direkt ablesen wie lang ein Kurvenabschnitt zwischen zwei Punkten ist und damit sind die Tangentenvektoren normalisiert. Die Vierergeschwindigkeit gibt also an wie schnell sie ein Teilchen in die 4 Raumzeitkoordinaten bewegt, bezogen auf die Zeit die das Teilchen selber erlebt.

Mit der Zeitdilatationsformel ergibt sich:

Und wenn sich das Teilchen in einem bestimmten System in eine bestimmte Richtung mit der Geschwindigkeit \(\beta_{x}\) bewegt muss gelten:

Woraus folgt:

Und mit einer analogen Rechnung:

Für eine Geschwindigkeit rein in die \(x\) Richtung: