Vektoren

Wir sind noch nicht ganz durch mit den Symmetrien der Raumzeit. Wir haben bereits über Rotationen, Boosts und Spiegelungen gesprochen, doch es fehlt noch eine wichtige Klasse von Transformationen. Und das sind die Verschiebungen, sowohl in Räumlicher wie auch in Zeitlicher Richtung. Wenn man die Verschiebungen mit den Lorentztransformationen kombiniert, dann erhält man die Gruppe (Ja, Gruppe ist der Richtige Begriff) der Poincarétransformationen.

Und an dieser Stelle sollten wir über den Begriff Vektor reden. Den in der Physik (und auch in der Mathematik) ist ein Vektor mehr als nur eine Ansammlung von Zahlen die wir Komponenten nennen. Ein Vektor ist stets in eine größere Struktur eingebettet und untrennbar mit seiner Basis verbunden. Er ist definiert durch sein Verhalten, wenn man die Umgebende Struktur transformiert. Wenn das Thema näher interessiert, der sollte sich dem Thema Differenzialgeometrie widmen. Für uns ist hier nur relevant, was wir als Vektor bezeichnen und was nicht.

Für uns sind im folgenden Vektoren jene vierdimensionalen Objekte, welche mit dem Lorentztransformationsteil der Poincarétransformationen transformieren. Was heißt das? Nun man kann jede Poincarétransformation als Hintereinanderausführung einer Verschiebung und einer Lorentztransformation schreiben. Dabei operieren diese beiden Transformationen natürlicher Weise auf die Punkte der vierdimensionalen Raumzeit. Doch man kann innerhalb der Raumzeit aus weitere Objekte konstruieren, z.b. in dem man die Differenz zweier Punkte betrachtet (also den Verbindsvektor, warum hier der Begriff Vektor gerechtfertigt ist, wird gleich geklärt). Diese Transformieren unter Umständen anders als die Punkte der Raumzeit (auf diese wird zunächst die Verschiebung addiert und anschließend die Lorentztransformation als Matrix multiplikation angewendet).

Betrachten wir das gegebene Beispiel (für diese Rechung nutze ich den Pfeil, um ansammlungen von 4 Komponenten zu bezeichnen (keine Vektoren!)):

Dabei ist \(\Lambda\) die Matrix der Lorentztransformation.

Die Differenz zweier Vektoren transformiert also nicht wie einzelne Punkte der Raumzeit. Es wird nicht erst die Verschiebung abgezogen und dann mit die Lorentztransformation durchgeführt, sondern es wird nur die Lorentztransformation durchgeführt. Differenzen von Raumzeitpunkten transformieren also lediglich mit dem Lorentztransformationsteil der Poincarétransformation. Sie sind also Vektoren (Anders als Raumzeit punkte selber). Man könnte sich nun eine Ursprung festlegen (nicht zu verwechseln mit dem Koordinatenursprung), zu welchem man alle anderen Punkte als Differenz betrachten kann. Dann könnte man sich einen ‘Ortsvektor’ definieren, der wie ein Vektor transformiert. Und wenn man den Ursprung am Anfang auf \(\left( 0,0,0 \right)\) legt und auf Verschiebungen verzichtet, kommt man wieder bei dem Bild heraus, welches man in der Schule behandelt, das auch Raumzeitpunkte als Vektor transformieren, doch das ist eben nur so, wenn auf Verschiebungen verzichtet.

Glücklicherweise kann man sich als Physiker einen großteil dieser ganzen Kopfschmerzen sparen, da sowie so nur Differenz von Raumzeitpunkten eine Rolle Spielen (man muss Zeit und Raum schließlich relativ zu etwas messen!), womit wir bei einem großteil unserer Diskussionen auch Orte als Vektoren betrachten können, doch man sollte Stets im hinterkopf behalten, dass es sich streng genommen nur dann um einen Vektor handelt wenn man relative Positionen betrachtet.