Punktprodukte
Ein erster Einsatz für den hyperbolischen Kosinussatz ist, die Geschwindigkeit auszurechnen mit denen sich zwei Beobachter sehen die sich mit bekannten Geschwindigkeiten bewegen. Lass uns sagen wir kennen die beiden Vierergeschwindigkeiten.
Wir gerade berechnet gilt:
\[ \cosh\left(\varphi_{delta}\right) = \cosh\left(\varphi_{1}\right) \cosh\left(\varphi_{2}\right) - \sinh\left(\varphi_{1}\right) \sinh\left(\varphi_{2}\right) \cos\left(\delta\right)\]Nun die Kosinushyperbolikusse der Rapiditäten sind einfach die \(0\). Komponenten der Vektoren. Und die Sinushyperbolikusse sind die Beträge der Raumanteile der Vierergeschwindigkeiten (s.o.):
\[ \cosh\left(\varphi_{delta}\right) = v_{1}^{0} v_{2}^{0} - |\vec{v_{1}}| |\vec{v_{2}}| \cos\left(\delta\right) \]Aber die Beträge der Raumanteile (die ich hier mit Vektorpfeilen markiert habe) mal der Kosinus zwischen den Raumanteile ist einfach deren Punkt produkt:
\[ \cosh\left(\varphi_{delta}\right) = v_{1}^{0} v_{2}^{0} - \vec{v_{1}} \dot{} \vec{v_{2}} \]Aber das ist gegeben durch:
\[ \cosh\left(\varphi_{delta}\right) = {v_{1}}^{\mu} {v_{2}}_{\mu} \]Und da das wieder eine konstruierte Invariante ist, und an Geschwindigkeiten nichts besonders ist außer ihre Relativistische Norm, welche ja aber invariant bleibt muss für beliebige zwei Vierervektoren \(\psi\) und \(\xi\) gelten:
\[ \psi^{\mu} \xi_{\mu} = \psi_{\mu} \xi^{\mu} = const \]bei Poincarétransformationen. Unsere Formel vorhin galt also nicht nur wenn man zwei gleiche Vektoren einsetzt sondern auch bei zwei beliebigen. Und wie bei den Geschwindigkeiten mit norm \(1\) gezeigt, ist das Ergebnis der Kosinushyperbolikus der Rapiditätsdifferenz. Das Bedeutet bei einer Norm die nicht \(1\) ist, ist das Ergebnis der Kosinushyperbolikus der Rapiditätsdifferenz der beiden Vektoren mal die Beträge der Vektoren. Fast wie beim Euklidischen Punktprodukt. Die Rapidität ist also wahrscheinlich eine Art Winkel im Minkowskiraum und die Hypbolischen Winkelfunktionen übernehmen jetzt die Aufgabe des Projizierens. Das die Rapidität ein Winkel sein soll passt auch damit zusammen, das sie die Länge im oberen Halbhyperboloid ist, was ja sozusagen eine “Kugel” ist, und auf einer normalen Kugel ist der Winkel ja auch das geeignete Abstandsmaß. Man sieht das Stück für Stück die Teile des Themas ein großes schönes Ganzes Bilden.