Orthogonalität

Es lohnt sich den Gedanken des letzten Posts noch etwas auszuweiten. Wie bereits besprochen sind Winkel und Längen zwei Größen die im Wesentlichen dadurch charakterisiert werden, das sie sich bei bestimmten Transformationen des Raumes in dem sie leben nicht ändern. Im Kontext der Euklidischen Geometrie werden diese Transformationen als Orthogonal bezeichnet. Wir haben bereits gesehen, das die Rapidität und der Winkel zwischen zwei Geschwindigkeiten die Funktionen dieser beiden Größen auf dem oberen Halbhyperboloid übernehmen. Doch dieser ist nur ein Teil des Raumes, welcher durch Poincarétransformation invariant gehalten wird. Der eigentliche Definitionsbereich der Poincarétransformationen ist schließlich der Minkowskiraum. Wie bereits erwähnt wird im Minkowskiraum die Rapidität nun das Winkelmaß, da sie das Längenmaß auf der “Kugel” ist. Für die Länge haben wir ebenfalls einen vielversprechenden Kandidat. Wir haben gesehen das die das Raumzeitintervall eines Vektors konstant bleibt und in starker Analogie zur euklidischen Länge steht (alleine schon aufgrund der Ähnlichkeit der Formeln). Damit ist es ein idealer Kandidat für die Länge im Minkowskiraum. Und tatsächlich bilden Raumzeitintervall und Rapidität die Längen und Winkelmaße für den Minkowskiraum. Doch hier stellt sich eine Frage, welche im Falle des oberen Halbhyperboloid relativ einfach zu beantworten war. Was ist mit “rechtem Winkel” gemeint, was ist ein rechtwinkliges Dreieck? Da der obere Halbhyperboloid sein Winkelmaß gewissermaßen aus dem Euklidischen geerbt hat, war diese Frage dort leicht zu beantworten. Doch die Rapidität funktioniert grundlegend anders als das Euklidische Winkelmaß. Sie ist unbeschränkt und hat zwei qualitativ verschiedene Bereiche. Nämlich die der Bereich in dem die Geschwindigkeitsdifferenz unter \(c\) liegt und der Bereich in dem die Geschwindigkeitsdifferenz über \(c\) liegt. Für letzteren Bereich haben wir tatsächlich noch nicht einmal die Rapidität definiert. Es ist also noch einiges Nötig, um die Rapidität zu einem richtigen Winkelmaß auszubauen.