Hyperbolischerotationen

Bewaffnet mit diesen Wissen können wir uns jetzt die Lorentztransformation genauer anschauen:

Erneut wird denen mit scharfen mathematischen Gespür auffalen, das es sich hierbei um eine lineare Transformation handelt und sie sich damit als Matrix multiplikation schreiben lässt:

Nun da wir ein neues Maß für die Geschwindigkeit haben würde es sich vielleicht lohnen \(\beta \gamma\) und \(\gamma\) durch die neue Parametriesierung auszudrücken:

Wem diese Schritte nicht ganz klar sind kann die nötigen hyperbolischen Additionstheoreme im Internet nachschauen. Damit lässt sich unsere Transformationsmatrix schreiben als:

Diese Matrix sieht aber sehr aus wie eine Rotationsmatrix, bloß, dass hyperbolische Winkelfunktionen genutzt werden und ein Vorzeichen falsch ist. Könnte es also sein, das die Lorentztransformation eine abgewandelte Art der Rotation ist? Um das zu untersuchen müssen wir uns die Mathematische Struktur unserer Transformation genauer anschauen. Die definierende Eigenschaften von Rotationen ist, dass sie diejenigen linearen Transformationen sind, welche die Länge der Vektoren konstant lassen. (mathematisch fall, ist das die definition der Orthogonalen Transformationen aber, zu diese sind lediglich die Rotationen ergänzt um einige Diskrete Operationen wie z.B. Reflexionen.) Sollte unsere Transformation eine Art Rotation sein, dann sollte diese auch eine Eigenschaft der Vektoren erhalten, die sich mit einer reellen Zahl parametrisieren lässt. Um diese Eigenschaft zu finden, sollte es sie geben, kann man folgende Herangehensweise wählen. Die Eigenschaft wird die Vektoren in Klassen teilen, zwischen welchen man mithilfe der Lorentztransformationen nicht wechseln kann, weil sich dann die Eigenschaft ändern würde. Es ist nicht gesagt, das man mithilfe von Lorentztransformationen alle Vektoren innerhalb einer Klasse erreichen kann, aber bei einer Rotation, bei welcher die Klasse die Menge der gleich langen Vektoren ist, funktioniert das, also könnte man auch hoffen das es hier funktioniert. Wir können also schauen, welche Bedingungen ein Vektor erfüllen muss, damit man einen bestimmten anderen in ihn transformieren kann. Aber selbst wenn das nicht funktioniert, könnte man hoffen, das die Rechnung zumindest einen Hinweis auf die tatsächlichen Klassen und damit die erhaltene Eigenschaften der Vektoren gibt.

Wir untersuchen also was \(\begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix}\) erfüllen müssen damit für eine Lorentztransformation mit einer bestimmten Geschwindigkeit und damit mit einer bestimmten Rapidität gilt:

(Da \(\tanh\left(\varphi\right)\) als Wertebereich \(\left( -1;1 \right)\) hat, kann man für jede Geschwindigkeit eine Rapidität finden und damit ist es egal ob wir über Rapiditäten oder Geschwindigkeiten reden. Da aber Rapiditäten schönere Eigenschaften haben, werde ich diese in Zukunft nutzen.) Die Gleichung besteht aus zwei rellen Gleichungen. Die erste lautet:

Auschreiben von \(\cosh\) und \(\sinh\) liefert:

Das ist eine Quadratische Gleichung in \(e^{\varphi}\), lösen mit der pq formel liefert:

Der Kehrwert ist gegeben durch:

Wobei die 3. binomische Formel genutzt wurde. Nun haben wir zwei möglichkeiten für die Rapidität identifiziert und nun ist die Frage unter welchen Bedingungen die zweite Gleichung erfüllt sein kann.

Erneut werden die Hyperbolischen Funktionen ausgeschrieben.

Einsetzen der Formeln für die e-Funktionen:

Da im laufe der Umformungen mehrfach quadriert wurde, ist nicht gesagt, dass man immer eine Transformation finden kann, die die beiden Vektoren ineinander umwandelt, wenn diese Bedingung erfuellt ist, aber wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, dann kann man definitiv keine finden. Die Transformation hält also die Größe \(t^{2} - x^{2}\) konstant und das ist genau das, was wir gesucht haben, denn das ist eine reelle Eigenschaft der Vektoren die Konstant bleibt. Und es wird noch besser, denn diese Eigenschaft überträgt sich auch ins mehr dimensionale. Wenn man nämlich statt \(x^{2}\) die Summe der Quadrate in die Raumrichtungen nimmt, dann ist diese Summe offensichtlich unter Rotationen invariant, da diese die euklidische Länge invariant lassen, aber sie sind auch unter Boosts in beliebigen Raumrichtungen invariant, denn man kann den Raumteil in eine Richtung parallel zum Boost und die Richtungen orthogonal zum Boost zerlegen, und die Summe der Quadrate ist aufgrund der Eigenschaft der euklidischen Geometrie auch gegeben durch die Summe der Quadrate der Längen in Boostrichtung und Orthogonal dazu. Und da die orthogonalen Komponenten invariant bleiben, und der Boost die Differenz der Quadrate der Zeit und der Koordinate in Boostrichtung konstant lässt, ist die Größe:

Sowohl unter Boosts in beliebigen Richtungen als auch Rotationen als auch unter Spiegelungen, da alle Koordinaten quadriert werden, invariant. Hierbei wurde noch die Wurzel genommen, um eine wie bei der Länge eines Vektors eine Größe in den Einheiten der Vektoren zu haben, aber man kann und wird in der Praxis auch oft mit \(\tau^{2}\) rechnen.

Die Lorentztransformationen (also Rotationen, Boosts, Spiegelungen) halten also \(\tau\) konstant. Tatsächlich kann man auch, wie eine hier nicht reproduzierte aufwendige Rechnung zeigt, mit den Lorentztransformationen auch jeden Vektor in jeden anderen Vektor überführen, solange ihre \(\tau\)’s übereinstimmen und wie eine noch aufwendigere Rechnung zeigt, gibt es auch keine anderen Transformationen die \(\tau\) konstant halten.

Nun ist es Zeit sich genauer anzuschauen, wie genau denn die Klassen der Vektoren die durch Lorentztransformationen ineinander überführt werden können aussehen. Diese haben die Gleichung:

Wenn man eine räumliche Dimension weglässt sieht das aus wie folgt:

Ein Spezieller Fall ergibt sich wenn \(\tau = 0\), denn dan wird die Gleichung zu:

Wobei \(r\) der Räumliche Abstand vom Koordinatenursprung ist. Das ist die Gleichung für einen Kegel mit einen Öffnungswinkel von \(45^{\circ}\) und der Spitze am Urspung sowie einer Öffnung Richtung Zeitachse.