Halbhyperboloid
Es ist Zeit die Raum näher zu untersuchen, in denen die Geschwindigkeiten leben. Die Raum aller Vektoren wird als Minkowskiraum bezeichnet. (Er unterscheidet sich vom \(\mathbb{R}^{4}\) insofern, dass wir ein neues Längenmaß definiert haben). Den Raum aller Vektoren der Länge \(1\) mit positiver erster Komponente, bezeichnen wir als oberen Halbhyperboloid. Er wird bei allen Poincarétransformationen auf sich selber abgebildet, außer bei jenen die eine Zeitreflexion beinhalten, dann geht er aber komplett in den unteren Halbhyperboloid über, sodass sich die Struktur nicht ändert. Er hat drei Dimensionen (was Sinn macht da die Geschwindigkeit ein dreidimensionaler Vektor ist, und die änderung unseres Modell zu einer Vierdimensionalen Raumzeit nicht einfach einen Freiheitsgrad für die Geschwindigkeit erzeugen sollte, dieser wird durch die Fixierung der Länge des Geschwindigkeitsvektors wieder herausgenommen).
Welche sonstige Struktur hat dieser Raum noch (mit Struktur sind Eigenschaften gemeint, die sich nicht durch eine Poincarétransformation ändern.)? Als wir ein Invariantes Maß für die Zeit gesucht haben, da haben wir einfach die die Zeit genommen die ein bestimmter Beobachter beobachtet hat. Damit haben wir per Definition eine Invariante. Das war natürlich einfach, das schöne dabei war, das es sich ausstellte, das diese Invariante auch in anderen Bezugssystemen relativ leicht zu berechnen war. Könnten wir einen ähnlichen Trick hier versuchen?
Zwei Punkte auf dem Halbhyperboloid entsprechen Geschwindigkeiten in der echten Welt. Ein Beobachter der eine der beiden Geschwindigkeiten besitzt kann für den hat die Geschwindigkeit des anderen Beobachters einen Bestimmten Betrag. (Es ist egal welche der Geschwindigkeiten wir nehmen, die Beobachter mit den beiden Geschwindigkeit sehen sich gegenseitig mit der selben Geschwindigkeit von einander wegbewegen). Das ist eine Invariante per Definition.
Eine andere Invariante ist der Winkel den ein Beobachter zwischen zwei Geschwindigkeit beobachtet.
Und diese beiden Objekte geben uns in gewissem Sinne ein Abstands und ein Winkelmaß auf dem Halbhyperboloid. Was heißt das? Von einer Länge verlangt man normalerweise, das sie auf gerade Additiv ist (was wir mit der Definition der Rapidität garantiert haben) und das die Dreiecksungleichung gilt. Das können wir mit Physikalischer Intuition oder mit einem längeren Mathematischen Beweis zeigen. Ersteres geht es folgender Maßen. Die Dreiecksungleichung sagt, das die Direkte Verbindung zwischen zwei Punkten die kürzeste ist. Und in unserem Kontext bedeutet das, das man am wenigsten Beschleunigen muß, wenn einfach in Richtung der Zielgeschwindigkeit beschleunigt und nicht zwischendurch die Richtung wechselt. Das macht intuitiven Sinn, auch wenn man darauf nicht vertrauen sollte, wenn man SRT macht. Da wir uns an dieser Stelle aber den Beweis sparen wollen und die Dreiecksungleichung auch für nichts benutzen, verzichte ich auf weitere Ausführungen.
Hierbei sollte man noch kurz darauf eingehen, was mit Gerade auf dem Halbhyperboloid gemeint ist. Wenn man eine Menge von Geschwindigkeiten durch eine einfache Beschleunigung ohne die Richtung dieser zu ändern erreichen kann, dann sagen wir das die Geschwindigkeiten auf eine Gerade liegen.
Von einem Winkel verlangt man normalerweise Sachen wie Additivität und das er sich an einem Punkt auf \(360^{\circ}\) ergänzt. All diese Dinge sind relativ einfach überprüft, weil sie von der Definition geerbt werden.
Der obere Halbhyperboloid ist also eine Menge von Punkte mit einem Winkelmaß und einem Abstandsmaß. Was können wir damit anfangen? Nun in der euklidische Geometrie kann man sehr viel berechnen, indem man bei Teilweise bekannten Dreiecken fehlende Maße ausrechnen kann. Dafür nutzt man Sachen wie Innenwinkelsummen, Cosinus- und Sinus-sätze. Und Analoge aussagen können wir auch hier herleiten.
Doch bevor wir uns der großen Mathematischen Schlacht widmen, lasst uns kurz rekapitulieren. Wir haben den Raum aller Geschwindigkeiten definiert und gesehen, das dieser eine gewisse mathematische Struktur hat. Was haben wir also vor? Nun das Endziel ist, das wir bei eine Aufgabe eine Reihe von Angaben über Beobachtungen von Verschiedenen Bezugssystem haben und diese Ohne rumrechnungen mit Vierergeschwindigkeiten direkt in Angaben über die Punkte auf dem Halbhyperboloid ummünzen können, und dann auf dem Halbhyperboloid das ausrechnen können was wir brauchen und anschließend die Aussagen vom Halbhyperboloid wieder in Aussagen in der echten Welt umwandeln und so SRT Aufgaben lösen können ohne eine Einzige Lorentztransformation auszurechnen. Genauso wie man Aufgabe in der Geometrie nicht immer mit Vektoren ausrechnen muss, sondern auch manchmal mit Mitteln der euklidischen Geometrie lösen kann.
Lass uns also beginnen. In der euklidischen Geometrie wurden zunächst Rechtwinklige Dreiecke betrachtet und alle anderen dann in jenen unterteilt. Das macht man weil Rechtwinklige Dreiecke kompliziert genug sind um die gesamte Geometrie der Ebene abzubilden aber einfach genug um sie leicht ausrechnen zu können. Die gleiche Strategie könnte auch hier funktionieren. Also betrachten wir ein Rechtwinkliges Dreieck.
Ein Rechtwinkliges Dreieck in unserem Kontext sind drei Geschwindigkeit, welche von einer der drei Geschwindigkeiten aus beobachtet eine rechten Winkel haben. Lass uns das Bezugssystem so wählen, das der Beobachter von dem die beiden Geschwindigkeiten senkrecht aufeinander stehen ruht und diese Geschwindigkeiten in \(x\) und \(y\) Richtung gehen. Dann sind sie gegeben durch:
\[ v_{1} = \begin{pmatrix} \cosh\left(\varphi_{1}\right) \\ \sinh\left(\varphi_{1}\right) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; v_{2} = \begin{pmatrix} \cosh\left(\varphi_{2}\right) \\ 0 \\ \sinh\left(\varphi_{2}\right) \\ 0 \end{pmatrix} \]Transformieren wir in das System in dem \(v_{1}' = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), dann ergibt sich (ein Boost um \(- \varphi_{1}\) in \(x\)-Richtung):
\[ v_{2}' = \begin{pmatrix} \cosh\left(- \varphi_{1}\right) & \sinh\left(- \varphi_{1}\right) & 0 & 0 \\ \sinh\left(-\varphi_{1} \right) & \cosh\left(- \varphi_{1}\right) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh\left(\varphi_{2}\right) \\ 0 \\ \sinh\left(\varphi_{2}\right) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\left(\varphi_{1}\right) \cosh\left(\varphi_{2}\right) \\ -\sinh\left(\varphi_{1}\right) \cosh\left(\varphi_{2}\right) \\ \sinh\left(\varphi_{2}\right) \\ 0 \end{pmatrix}\]In einem Rechtwinkligen Dreieck gilt also:
\[ \cosh\left(c\right) = \cosh\left(a\right)\cosh\left(b\right) \]Die Art der Geometrie die wir hier untersuchen nennt man Hyperbolische Geometrie, deswegen werde ich das als hyperbolischen Satz des Pythagoras bezeichnen.
Die Innennwinkel kann man in dieser Rechnung auch Ablesen, denn für den Beobachter mit der Geschwindigkeiten \(v_{1}\) hat der Beobachter der im Ursprünglichen System ruht eine Geschwindigkeit in \(x\)-Richtung und die Richtung des Beobachters mit der Geschwindigkeit \(v_{1}\) lässt sich aus den \(x\)- und \(y\)-Koordinaten der Vierergeschwindigkeit ablesen (s.o.).
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{\sinh\left(a\right)}{\cosh\left(a\right) \sinh\left(b\right)}\right) \]Hier kann jetzt versuchen \(b\) zu eliminieren, da gilt:
\[ \cosh\left(b\right) = \frac{\cosh\left(c\right)}{\cosh\left(a\right)} \]Gilt mit dem Satz des Pythagoras für hyperbolische Winkelfunktionen (nicht zu verwechseln mit dem Hyperbolischen Pythagoras):
\[ \cosh\left(b\right)^{2} = 1 + \sinh\left(b\right)^{2} \]Daraus folgt:
\[ \sinh\left(b\right) = \sqrt{\frac{\cosh\left(c\right)^{2}}{\cosh\left(a\right)^{2}} - 1} \]Und damit:
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{\sinh\left(a\right)}{\sqrt{\cosh\left(c\right)^{2} - \cosh\left(a\right)^{2}}}\right) \]Daraus wiederum folgt:
\[ \cos\left(\alpha\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{\sinh\left(a\right)}{\sqrt{\cosh\left(c\right)^{2} - \cosh\left(a\right)^{2}}}^{2}}} = \sqrt{\frac{\cosh\left(c\right)^{2} - \cosh\left(a\right)^{2}}{\cosh\left(c\right)^{2} - 1}} = \frac{\sqrt{\cosh\left(c\right)^{2} - \cosh\left(a\right)^{2}}}{\sinh\left(c\right)} = \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{\cosh\left(b\right)^{2}}}}{\tanh\left(c\right)} = \frac{\tanh\left(b\right)}{\tanh\left(c\right)}\]Und:
\[ \sin\left(\alpha\right) = \frac{\sinh\left(a\right)}{\sqrt{\cosh\left(c\right)^{2} - 1}} = \frac{\sinh\left(a\right)}{\sinh\left(c\right)}\]Damit ergeben sich die beiden Winkel zu:
Nun betrachten wir ein allgemeines Dreieck. Wie auch in der euklidischen Geometrie versuchen wir weitere Sätze herzuleiten, indem wir ein beliebiges Dreieck mittels eines Lotes in rechtwinklige Dreiecke zerlege:
Zunächst der Sinussatz. Berechne ich die Länge des Lotes doppelt uns setzte gleich:
\[ \sinh\left(h\right) = \sin\left(\alpha\right) \sinh\left(b\right) = \sin\left(\beta\right) \sinh\left(a\right) \]Umstellen:
\[ \frac{\sinh\left(a\right)}{\sin\left(\alpha\right)} = \frac{\sinh\left(b\right)}{\sin\left(\beta\right)} \]Für das Dreieck \(\Delta ABD\) gilt:
\[ \cosh\left(c\right) = \cosh\left(h\right) \cosh\left(d\right) \]Es gilt \(d = b - e\), einsetzen und Additionstheoreme für \(\cosh\):
\[ \cosh\left(c\right) = \cosh\left(h\right) \cosh\left(b\right) \cosh\left(e\right) - \cosh\left(h\right) \sinh\left(b\right) \sinh\left(e\right)\]Weiterhin gilt:
\[ \cosh\left(h\right) = \frac{\cosh\left(a\right)}{\cosh\left(e\right)} \]Einsetzen:
\[ \cosh\left(c\right) = \frac{\cosh\left(a\right)}{\cosh\left(e\right)} \cosh\left(b\right) \cosh\left(e\right) - \frac{\cosh\left(a\right)}{\cosh\left(e\right)} \sinh\left(b\right) \sinh\left(e\right) \]\[ \cosh\left(c\right) = \cosh\left(a\right) \cosh\left(b\right) - \cosh\left(a\right) \sinh\left(b\right) \tanh\left(e\right) \]Mit der Kosinusbeziehung im Rechtwinkligen Dreieck wird das aber:
\[ \cosh\left(c\right) = \cosh\left(a\right) \cosh\left(b\right) - \cosh\left(a\right) \sinh\left(b\right) \cos\left(\gamma\right) \tanh\left(a\right) \]Mit der Definition des Kosinus:
\[ \cosh\left(c\right) = \cosh\left(a\right) \cosh\left(b\right) - \sinh\left(a\right) \sinh\left(b\right) \cos\left(\gamma\right) \]Wir haben also für unseren Halbhyperboloid einen Sinus und einen Kosinus Satz. Das könnte sehr Nützlich werden, um Winkel und Geschwindigkeiten auszurechnen.